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在现实世界中有两类现象：一种是确定性现象，另一种是随机性现象。所谓确定性现象是指在一定条件下可以完全预知结果的现象。例如，在标准大气压下，水℃会沸腾；在地球上，物体下落会遵循自由落体定律；在天体运行规律上，日月蚀的发生完全可以精确预测；等等。所谓随机性现象是指不能完全准确预知其结果的现象。例如，掷硬币出现正面还是反面？下期中奖彩票号码是多少？明日股市指数会是多少？车床生产的下颗螺钉直径精确值是多少？对于标准块规长度的下次精确测量结果是多少？这些全都是事先未知的，这就是随机现象。

我们在研究客观世界中的随机现象时，一定要有清醒的认识。那就是，在任何情况下，个别随机现象是绝对不可预测的。例如，有些人声称可以预测下次彩票的中奖号码等等，这是绝对不可能的。但大量随机现象将呈现明显的规律性。例如，假定生男生女的可能性相同，那么00个新生儿中，男孩将会是多少其数量的范围又如何等等。这些是可以预测的。概率论所研究的就是大量随机现象的规律性。

由于概率论是一门内容非常丰富、应用非常广泛的学科，我们不可能介绍它的所有方面，实际上小编将只介绍六西格玛管理所用到的有关基本内容。主要包括五部分：随机变量及其分布；随机变量的数字特征；常用的连续分布；常用的离散分布；中心极限定理。

1、随机变量的概念

在同一组条件下，对某事物或现象所进行的观察或实验叫随机试验（experiment)，把观察或实验的结果叫随机事件（event）。例如，抛掷一枚质地均匀的骰子就是一次试验，骰子落地，可能出现1点、2点、…、6点，或为奇数点或为偶数点，点数大于5，等等，这些就是一个个事件。这些事件在一次试验中可能出现也可能不出现，我们称之为随机事件。

如果随机试验的每种结果可以用一个数字作为其代表，则我们称此变量为随机变量(randomvariable)。例如掷骰子试验中，骰子落地，将可能出现的点数作为考察的变量X，则X就是一个随机变量。此随机变量可以取的值仅限于1~6这六个正整数。在此范围内，随机变量究竟在一次试验中会出现哪一个值，在试验前是完全不能确定的。通常的随机变量都具有这种性质和特点，即事先可以肯定取值的范围，但不能肯定具体的取值是多少。同样，在掷两颗骰子试验中，我们可以定义所掷两颗骰子“点数和”为一个随机变量Y，它的取值范围就是2~12的这些整数，投掷之前不知道此随机变量取值是几。当然，你也可以定义所掷两颗骰子“点数差（绝对值）”作为另一个随机变量Z，那么它取值范围就将是0～5这六种结果。

概率论并不能确定一次试验下随机变量所取的值是多少，它所要研究的是随机变量所取之值的规律，即出现各种结果的可能性如何。例如，在掷骰子试验中，随机变量取1~6这六个整数的可能性全都相同，都是1/6。掷两颗骰子点数和的这个随机变量，取值范围是2~12的这些整数，但取这些值的可能性很不同，取值为7的可能远大于取值为2的可能。描述出现各种结果的可能性规律的就是分布律。

随机变量的取值有两种不同的类型：

第一种是离散型（discrete）随机变量。例如，检查一个产品是否合格，可能有“合格”及“不合格”两种结果，可以分别用0，1代表。例如，市场手机有A，B，C共三种，这里没有顺序可言，但可以分别以1，2，3代表。又如，车间产品分一等品、二等品及三等品；满意性分为“极不满”、“不满”、“尚可”、“满意”、“极满意”五等，这些是有顺序可言的。同样可以分别规定产品等级为1~3共三种，对于满意度可以规定为1~5共五类，等等。

另一种是连续型（continuous）随机变量。例如，自动车床生产的螺钉直径、长度，每台手机的发射功率，等等。这些随机变量的取值通常是某个实数区间，此区间可以是有限的，也可以是无限的。连续型随机变量的应用要比离散型随机变量广泛得多。

随机变量的两种数据类型不同，处理方法也不同。我们再看些例子。设X为某铸件上的缺陷点数，X可以取0，1，2，…可能值。因此，X是离散型随机变量。类似地，手机外壳透明显示框内包含的气泡数、布匹上的疵点数、车床一天内发生的故障次数、京津高速公路上的事故数等，都是取值为(0，1，2，3，…）的离散型随机变量。射击飞碟比赛，共发10枪，命中飞碟的次数也是离散型随机变量，但其取值域为(0，1，2，…，10)。

再比如，设X为某品牌手机电池的寿命（单位：小时），则X是在(0，oo）上取值的连续型随机变量。类似地，PCB板上焊锡膏涂层厚度、硝酸铵化肥反应罐每天的产量等，都是在(0，co）上取值的连续随机变量。

2、随机变量分布的概念

随机变量通常用大写字母X，Y，Z等表示，随机变量的取值常用小写字母x，y，z等表示。我们已经知道，随机变量可以分为两类：连续型随机变量和离散型随机变量。

为了描述随机变量的分布规律，我们对这两种类型分别讲述。

（1）离散型随机变量的分布律

对于离散型随机变量，我们可以将其所有可能的取值排列起来。例如，掷骰子试验中，将可能出现的点数这个随机变量记为X，则这就是一个离散型随机变量。此随机变量可以取的值x；是1~6这六个整数。由于取这六个数的概率全相等，都是1/6，因此分布律可以写成下列形式（见表2-1）：

在掷2颗骰子的试验中，将可能出现的点数和这个随机变量记为Y，则此离散型随机变量可以取的值y是2~12这11个整数。由于取这11个数的概率不全相等，因此要把取每个不同值的概率分别写出，因此分布律可以写成下列形式（见表2-2）：

一般说来，我们可以先将离散随机变量所有可能的取值，沿水平方向排成一行，在每个值的下方列出随机变量取此值的可能性，这个表就称为离散型随机变量的分布律。当然，这里所有的列出的概率一定是非负数，而且所有这些概率之和应恰好为1。

（2）连续型随机变量的分布

我们平时都有直方图的概念。例如，对收集到的名成年男子身高数据绘制出频率直方图，如图2-7所示。频率直方图可以清楚地显示出在不同取值处，取值可能性的大小状况，身高在cm~cm的人比别的身高人数要多很多。但要注意，这里画的只是频数直方图，它的纵坐标可能是频数，也可能是频率，观测值的个数发生变化，或区间的划分方法发生变化时，纵坐标就会发生变化。我们可以这样设想，当数据个数很多、组距很小、组数很多时，连接直方图中每个矩形上边中点的折线就接近一条光滑的曲线了，图2-7给出了这样的描述。

随着数据的不断增加，频率趋于稳定，频率的稳定值就是概率。如果要求整个曲线下方的面积恰好为1，则这条曲线就称为概率密度曲线，此密度函数就是概率密度函数(概率密度函数，pdf)，如图2-8所示。

请注意比较一下，在图2-7与图2-8中，两条曲线形状完全相同，但二者的纵坐标是不相同的。图2-7中，纵坐标高度与观测值总个数及身高间隔的划分都有关系，但图2-8则不然，光滑曲线下方的面积固定为1，它的曲线高度与抽样人数及间隔的划分都无关。可是，对于概率密度曲线而言，它仍然与选用单位有关。例如，在图2-8中，身高的单位是厘米，其密度的最大值大约是0.07，如果我们把身高的单位换成米（厘米的倍），则其密度的最大值也要扩大倍，大约是7，如图2-9所示。也就是说，密度是有量纲的，它的量纲是1/[X]。

概率密度函数是描述连续随机变量分布的最重要和最基本的工具。概率密度函数应该有什么特点呢?如果p（x）是连续随机变量X的概率密度函数，则p（x）应该满足下列条件：

这就是说，概率密度函数曲线与横轴所围成的面积永远为1。

这就是说，随机变量落入[a，b]的概率就等于密度函数曲线在[a，b]上的积分。

其含义如图2-10所示。

这样一来，就看到概率密度函数的重要性。因为如果我们得到了概率密度函数，就可以直接求出随机变量落在任意一个范围内的概率。这一点在今后的统计计算中起了关键的作用。